Les pieds dans le plat

"À partir du rien, j'ai créé un univers nouveau, autre."

Janos Bolyai

Un proche intéressé par Artips Sciences ?

Bonjour,
Aujourd'hui : "Les pieds dans le plat"
Où l’on remet en question l’évidence.

Hongrie, 1820. János Bolyai reçoit une lettre de son père qui le supplie de renoncer à ses travaux, sans quoi il perdrait "sa santé et sa joie de vivre". Quelle est donc cette menace ? Eh bien, Bolyai est mathématicien, et il remet en question un énoncé vieux de 2000 ans.

Il s'intéresse au livre Les Éléments d’Euclide, un traité antique de géométrie. Euclide, mathématicien grec, y développe cinq "postulats ", c’est-à-dire des évidences que l’on ne peut pas démontrer.

Illustration Artips Sciences
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Il s'en sert ensuite comme briques de base de la géométrie, pour démontrer tout le reste. Le premier postulat, par exemple, dit "Par deux points différents, il passe une droite et une seule". Évident, en effet !

"Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.", illustration Artips Sciences
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Seulement voilà, il y a un hic avec le 5ème postulat. Celui-ci est un peu complexe, mais il a une conséquence directe bien connue : la somme des angles d’un triangle mesure 180°. Vous pouvez prendre une feuille de papier, un rapporteur, et vérifier !

"Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée." Illustration Artips Sciences
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Dès l'époque d’Euclide, les mathématiciens trouvent le 5ème postulat suspect. Ils se demandent s’il est vraiment nécessaire, et si on ne pourrait pas le démontrer à partir des quatre autres. Mais c'est Bolyai, enfin, qui comprend que la règle des 180° n’est pas essentielle.

Euclide (ou Archimède) dans Raphaël, L’École d'Athènes, 1509-1510, fresque, 440 x 770 cm, Musée du Vatican, Vatican. Détail de l'œuvre
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Alors comment pourrait-il en être autrement ? En laissant tomber la platitude de la feuille de papier !

Prenez plutôt une sphère, la Terre par exemple. Partez d’un point de l’équateur et parcourez un quart de tour. Tournez à angle droit (90°) jusqu’au Pôle Nord et tournez de nouveau à angle droit (90°), en direction de votre point de départ.

Votre trajet est bien un triangle (3 côtés, 3 sommets) mais la somme des angles fait 3x90°=270°, et non 180° !

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On distingue aujourd’hui la géométrie "euclidienne" où le 5^ème postulat est vrai, et les "non euclidiennes" comme la géométrie sphérique. Malheureusement pour sa joie de vivre, Bolyai sera devancé et, déçu d’apprendre que d’autres y avaient songé, arrêtera les mathématiques. Aurait-il dû écouter son père ? Nous ne saurions le postuler...