1999, New York. Dans une cage d'escalier, des cris résonnent ! On entend un homme s'époumoner "Pivotez ! Pivotez !". C’est Ross, qui donne ses instructions à Rachel et Chandler pour tenter de faire passer (jusque-là sans succès…) son tout nouveau canapé dans l'angle de son escalier.

Pour revoir la scène du canapé de la série Friends, 1999 (vidéo)

Cette scène, vécue par beaucoup lors d'un déménagement, est fictive et tirée de la série Friends. Mais elle illustre un problème mathématique qui existe bel et bien : le "problème du canapé". Il peut s'énoncer ainsi : quelle est la plus grande forme de canapé qui peut passer dans un couloir à angle droit de 1 m de côté (sans le démonter évidemment !) ?

Le canapé mythique de Friends, capture d'écran vidéo
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Depuis la création de ce passionnant problème en 1966, plusieurs réponses ont été proposées. Prenons d'abord un canapé carré, de 1 m de large. Il passe sans problème l'angle, et il possède une aire de 1 m x 1 m, soit 1 m².

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Mais on peut aussi imaginer un canapé plus grand, en forme de demi-cercle, de 1 m de rayon. Arrivé au bout du couloir, on peut le pivoter pour le faire passer. Contrairement au canapé rectangulaire de Ross… Ce canapé en demi-cercle a une aire de π/2 (A = (π x 1²) / 2), soit environ 1,57 m². C'est déjà plus grand, mais on doit pouvoir faire mieux.

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Si l'on reste dans l’idée du demi-cercle, une autre forme "en combiné de téléphone" a été imaginée. On coupe le demi-cercle en deux, on rajoute un rectangle, puis on enlève un demi-cercle pour pouvoir pivoter. Ce qui fait un canapé de 2,207 m². Et en bidouillant un peu les bords, on arrive même à 2,220 m². C'est à ce jour le canapé qui répond le mieux au problème.

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Mais, sans démonstration qu'il s’agit de la forme optimale, le problème reste ouvert. Il ne vous reste plus qu'à travailler à sa solution depuis votre canapé !

Édouard Manet, Portrait de madame Édouard Manet sur un canapé bleu, 1874, pastel sur papier marouflé sur toile, 49 x 60 cm, Musée d'Orsay, Paris
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Pour en savoir plus :

Sur le problème du canapé

Sur d'autres problèmes de maths "simples" mais non résolus

Pour en savoir plus sur le "problème du canapé", 2017 (vidéo en anglais)