À la marge

"Il y a bien moins de difficultés à résoudre un problème qu’à le poser."

Joseph de Maistre

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Bonjour,
Aujourd'hui : "À la marge"
Où l’on découvre comment occuper les mathématiciens pendant 3 siècles.

France, 17ème siècle. Plume à la main, Pierre de Fermat griffonne dans la marge d’un livre de mathématiques.
Plongé dans les équations, il lui vient alors une intuition, qu’il s’empresse de rédiger. Puis il rajoute "j’ai une merveilleuse démonstration, mais la marge est trop petite pour l’écrire"…

François de Poilly, Pierre de Fermat, gravure, 17^e siècle
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Avant de décrypter ce qu’il a raconté, il faut s’intéresser aux nombres entiers positifs (1, 2, 3, 4, etc…) et aux puissances. Un nombre x à la puissance n (noté xⁿ) signifie qu’on le multiplie n fois par lui-même. Par exemple, 3²=3x3=9 et 3³=3x3x3=27.

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On peut aller plus loin, et former des combinaisons pour obtenir des égalités particulières. La somme de 2 nombres entiers au carré (à la puissance 2) peut ainsi être égale à un autre entier au carré, comme pour 3²+4²=5² (puisque 9+16=25).

On peut donc conclure qu’il existe une combinaison x, y et z telle que x²+y²=z².

Illustration Sciencetips
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Cela était déjà connu depuis longtemps à l’époque de Fermat. Mais alors, que vient-il donc de griffonner ?

Tout simplement le théorème suivant : cette égalité n’est valable que lorsque n=1 et n=2, mais est impossible à satisfaire lorsque n=3, n=4… et les autres n supérieurs à 2 (du moins avec x, y, z des entiers strictement positifs, et n un entier).

Cet énoncé est connu sous le nom de "Grand théorème" ou "Dernier théorème" de Fermat.

"Dernier théorème" de Fermat, illustration Sciencetips
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Et il faudra plus de 350 ans pour le démontrer ! Le mathématicien Andrew Wiles y aura passé huit ans. Pour cela, il a notamment dû prouver un cas particulier d’un autre théorème et utiliser deux autres théories mathématiques complexes. Des outils inconnus à l’époque de Fermat…

Conclusion ? L’intuition de Fermat était bonne, mais il a bluffé : il paraît improbable qu’il ait eu une démonstration correcte. La démonstration de Wiles, elle, fait 109 pages, et ne rentre dans aucune marge !