Un problème ? Quel problème ?

Où l’on apprend que les mathématiques sont parfois
plus simples qu’il n’y paraît.

États-Unis, 1997. Agacé, un professeur de mathématiques poursuit un jeune agent d’entretien dans le réputé Massachussetts Institute of Technology (MIT). Il faut dire que l’homme de ménage a gribouillé sur le tableau qui proposait un problème très compliqué aux élèves… Gribouillé ? Il a plutôt trouvé la solution, oui !

Cliquez pour découvrir la scène de Good Will Hunting, réalisé par Gus Van Sant, 1997

Cette scène est tirée du film Good Will Hunting, centré sur Will, un as des mathématiques issu d’un quartier difficile. Regardons donc le défi auquel s’attaque ce petit génie de fiction.

Imaginons que l’on dispose d’un certain nombre de points (ou nœuds). En reliant deux points, on crée une ligne (une "arête"). Quelques règles, maintenant. D’une part, pour former un "arbre", les points doivent être reliés sans former de boucle.

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D’autre part, deux arbres sont considérés comme identiques si on peut passer de l’un à l’autre en tournant les arêtes.

Enfin, on veut un arbre dit "irréductible" : un point ne peut pas être relié à seulement deux autres points. Pour résumer, on ne peut pas créer une simple ligne de points. Voilà pour les conditions.

Alors, en quoi consiste le problème soi-disant si redoutable posé aux étudiants dans le film ? Il s’agit de trouver combien il existe de tels arbres composés de 10 nœuds.

En se creusant la tête, on peut par exemple imaginer une étoile à neuf branches, ou penser à relier deux groupes de cinq nœuds.

Bref, en tâtonnant, il est possible de trouver les dix possibilités. Pas besoin d’être un génie, ni d’y passer deux ans, comme le professeur du MIT le dit à l’écran.

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Modélisation de la molécule de propane

Ce problème, qui a eu notamment des applications pratiques pour modéliser certaines molécules, n’est donc pas si dur.

Il semble que, pour les bienfaits de l’intrigue, les scénaristes aient légèrement surévalué la difficulté de l’énigme… Mais ne soyons pas trop sévères, Good Will Hunting offre un excellent film sur les mathématiques, et ça c’est toujours un sacré problème à résoudre !